Les 4 opérations : Progression Montessori

janvier 29, 2019

Antonin s'installe en vue d'une série de multiplications

L'article du jour est la suite logique de celui-là : "Numération : Progression Montessori", dans lequel j'essayais de mettre à plat l'enchainement des leçons montessoriennes relatives au dénombrement.

Figurez-vous que deux ans plus tard, je n'ai pas oublié que je vous devais un second opus, dédié aux quatre opérations de base en calcul ... Le voilà enfin, après avoir trainé dans mes brouillons depuis ... hum. Bref. 😁 

Je vous le disais déjà à l'époque, et je le répète : la grande difficulté, lorsqu'on cherche à appréhender la progression montessorienne, c'est que la plupart des compétences se construisent de front. C'est galère, oui, on préfèrerait une progression où rien ne dépasse, "en escalier", si vous voulez : aucune compétence n'est abordée tant que la précédente n'est pas acquise, et voilà ! Ce serait si simple pour l'éducateur !!

Si vous êtres un tantinet montessorien, vous le savez : vous pouvez vous rhabiller. 😉 On peut certes reprocher certaines choses à la pédagogie Montessori aux lumières des sciences d'aujourd'hui, mais certainement pas d'être béhavioriste. Maria Montessori avait parfaitement conscience que l'apprenant acquiert les notions dans la complexité. La limpidité avec laquelle elle a su rendre compte de cette complexité fait que parfois, aujourd'hui, sa théorie apparait simpliste. Je le déplore ; il n'en est rien ! Pour moi, j'ai toujours besoin de me munir d'une feuille de papier et d'un crayon dès que je cherche à enchainer deux notions, même si elles ont été balisées par de grands pédagogues avant moi. Vous verrez que la progression du jour ne fait pas exception - bon, vous avez bien vos papier-crayon sous la main ? 😉

Attention ! Ne perdez pas de vue une seconde que le "Bloc" du jour s'articule avec le précédent. J'essaie tout au long de l'article qui suit de tisser un maximum de ponts. Vous me direz si ça vous "parle" ... 😅

Dans ma tête, je vois les choses comme ça : des "rounds" qui se construisent les uns à la suite des autres, et dont les compétences intrinsèques sont liées. Bien sûr, un round "Numération" peut se développer en parallèle d'un round "Opérations". Non seulement ce n'est pas un problème, mais c'est plutôt sain, quand on y pense ! 

(J'ajoute qu'il manque cruellement à la pédagogie de Maria Montessori un round "Résolution de problèmes" qui viendrait s'ancrer sur tout le reste ... mais je referme très vite cette parenthèse qui m'entrainerait loin, si loin  !! Ha, ha. 😱)

Ce qui est sûr et solide, c'est que pour aborder la progression "Spécial Opérations" dont j'essaie de rendre compte aujourd'hui, l'enfant doit avoir quelques acquis en amont (on parle de "prérequis" en pédagogie ) : 

1. Avoir manipulé le fonctionnement du système décimal.
2. Connaitre les symboles du système décimal.
3. Être capable d'associer des symboles et des quantités.

Toutes ces compétences font partie du "Bloc Numération" dont je parlais naguère.

Bon, euh, si vous êtes encore là, nous allons enchaîner, si vous le voulez bien ... Accrochez vos ceintures et laissez-vous guider - c'est très simple ! 😊

(Dernier rappel avant d'y aller pour de bon  : les âges indiqués servent de repères dans une école Montessori. Pas de panique, vous pouvez allègrement déplacer le curseur de deux ou trois ans - voire plus ... - si cela correspond à ce qui se passe chez vous. Ne privez pas votre enfant de ces activités si elles lui plaisent sous prétexte qu'il est "trop vieux", cela n'aurait pas de sens !)

1. Appréhender le sens des 4 opérations



Premier round :


Système décimal

On commence, classiquement, avec la présentation de l'addition sans, et avec retenue, la soustraction sans, et avec retenue, la multiplication sans et avec retenue, et la division sans et avec retenue. Le rythme est assez effréné, car si l'enfant présente une bonne compréhension, on enchaine les notions en l'espace de quelques mois. L'idée est de lui donner à voir le sens des quatre opérations - bon, on ne va pas dire "tout en même temps", mais presque. Une "opération" n'a du sens que par rapport aux autres, quand on y pense, en particulier les couples additions/soustractions, multiplications/additions, multiplications/divisions.

Croyez-moi si vous voulez, mais ces présentations, dans une école Montessori, peuvent avoir lieu dès les 4 ans et demi de l'enfant, soit vers le milieu de la Moyenne section. Bien sûr, le sens de ces opérations est construit de manière très matérielle, ancrée dans le concret.

Cependant, elles gagnent, à mon sens, à être proposées régulièrement tout au long de l'âge élémentaire. Elles sont autant de piqûres de rappel pour l'enfant qui acquiert, en parallèle, une technique automatisée de "calcul posé" - qui, à force de répétitions, fait perdre le sens des opérations effectuées. Et pourquoi faut-il toujours commencer par traiter les unités par exemple ? Ah, oui, c'est vrai, à chaque fois qu'on trouve dix unités dans un ordre, il faut les changer "à la banque" pour une unité d'ordre supérieure. C'est ce que signifie cet étrange chiffre miniature qu'on ajoute en tête de colonne ...

J'ai aussi constaté, dans ma pratique, que, suivant son âge, l'enfant "n'injecte" pas le même sens dans cet exercice : à 4 ans, l'enfant s'appuie fortement sur le code-couleurs proposé, alors que celui-ci est facultatif pour un enfant accédant à l'abstraction.

Au niveau du jargon, on trouve tout un tas de vocables montessoriens concernant les opérations de base, selon les traductions de Maria auxquelles on se confronte :

- On nomme "statiques" les opérations effectuées sans retenues, et "dynamiques" celles qui en comportent. Ne vous laissez pas impressionner, ce sont simplement de grands mots - dont on peut se passer.

- Les "GRANDES" additions - ou soustractions, ou ce que vous voulez - peuvent être aussi nommées "AVEC BANQUE". Cela signifie que ces opérations sont effectuées avec du matériel de numération concret. Elles s'opposent à celles "AVEC TIMBRES", qui supposent un pas de plus vers l'abstraction, et dont je vous parle de suite.

Pour la petite histoire, mes élèves appellent souvent "la grande addition" etc., "la GROSSE addition !" Cela vient certainement du fait que les enfants manipulent de grandes quantités, et que le matériel manipulé prend beaucoup de place ... Bref : on en a plein des bras, et quand on est petit, on aime bien ça !! 😊

N'hésitez pas à mettre en scène ces activités : en classe, on donne des rôle à chacun : "Bon, toi, tu aurais 3141 louis d'or et voilà que tu rencontres ton camarade qui en as 2235. Vous décidez de tout mettre ensemble pour être plus riche... Combien de louis va contenir votre coffre de pirates ?". Dans un cadre domestique, on convoque doudous ou figurines : "Bon alors, Grand ours a 1453 pots de miel, mais il rencontre Petit ours qui n'a rien et décide de lui donner 573 pots ... Peux-tu déposer la part de Petit Ours là-bas, sur le tapis ?"

La blogosphère regorge d'exemple concrets de mise en œuvre. Je ne saurai trop vous conseiller d'aller fouiner chez L'école des amours, les Ateliers de Céleste ou Un peu Montessori, Beaucoup d'amour - pour ne citer que quelques uns de mes chouchous.

Notez que l'ordre de présentation, au sein de "round", est assez libre. On peut présenter :

- Addition statique/Addition dynamique / Soustraction statique / Soustraction dynamique, etc.
- Ou : Addition statique/soustraction statique / Addition dynamique / Soustraction dynamique  /Multiplication statique ...
- Ou encore : Addition statique / soustraction statique / Multiplication statique / Division statique/ Addition dynamique, etc.
- Ou ...

Adaptez l'ordre des présentations à votre ressenti, au rythme et à l’intérêt de l'enfant - la seule règle, c'est qu'on aborde une opération "avec change" après son équivalent statique.


Tout au long de ce premier round, le travail se poursuit en numération : l'enfant pratique le jeu de mémoire, continue de mettre en paire les symboles et les quantités, poursuit le travail sur les tables de Seguin et les chaines de 100 et de 1000.

Deuxième round :


Soustraction avec retenue : "Maman, aujourd'hui, on en veut une DUUURE, hein !!" 😂

Après avoir proposé tout un tas de "grosses" opérations  aux enfants, on leur demande de réaliser un petit pas vers l'abstraction en manipulant des timbres. Cela se fait généralement en fin de Moyenne section ou début de Grande Section : voici donc l'addition avec les timbres, et la soustraction avec les timbres - sans puis avec retenue dans les deux cas.

Une fois de plus, la progression est assez souple, et le premier et le deuxième round peuvent s'interpénétrer :

- Soit vous présentez l'addition avec banque, puis l'addition avec timbres, puis la soustraction avec banque, puis la soustraction avec timbres, etc.

- Soit vous attendez d'avoir passé en revue toutes les opérations de base avec banque avant de présenter les timbres.

À vous de voir, selon votre ressenti et le rythme que vous souhaitez donner à ces apprentissages.


Même travail que dans le round précédent. L'enfant peut commencer à "compter en sautant" s'il est prêt.

Troisième round :


Boite de timbres

Vers 5 ans, on aborde la multiplication sans, puis avec retenue avec les timbres, puis la division sans retenue avec les timbres -  avec un petit diviseur (par exemple : 3), puis un grand diviseur (par exemple : 123). Les dividendes, comme toujours avec les GROSSES opérations Montessori, sont d’emblée assez musclés (par exemple : 3684).

Le travail prend ensuite un tour plus formel avec la table de points.


L'enfant poursuit le travail sur les activités qui "résistent", s'il y en a. Le gros du travail de numération à ce stade consiste à "compter en sautant". La mémorisation des opérations (cf. point suivant) ne sera abordée que lorsque toute les activités de numération seront automatisées.

2. La mémorisation des opérations



Premier round :


Serpent positif

Le fameux serpent positif (ou "serpent de l'addition") et le travail de mémorisation de l'addition commencent en parallèle avec le 3e round du bloc ci-dessus  👆. Dans une progression "idéale" (ou pas), nous nous situons en début de GS, l'enfant est à fond dans la multiplication et la division avec timbres, et le comptage en sautant.

Deuxième round :


L'enfant a alors 5 ans et demi environ dans une progression strictement montessorienne, nous nous situons en milieu de Grande section.

Troisième round :


Tableau de multiplication


 En fin de Grande section/début CP, on aborde le tableau de multiplication et le tableau de division (tables à trous).

Quatrième round :


Tables de division

On s'en doute, voici : Les tables de division. Tadaaam ! L'enfant a 6 ans.

3. Le passage à l'abstraction


Premier round :


Petit boulier

Il se fait parallèlement au 3e round du point précédent 👆. Tout en manipulant les tableaux de multiplication et de division, l'enfant découvre donc le petit boulier, puis les opérations avec le petit boulier et la présentation du très impressionnant matériel de hiérarchie.

Deuxième round :


Grand boulier


... qui se déroule en parallèlement du 4e round du point précédent (vous allez me haïr, mais ce n'est pas ma faute, promis !!) : le grand boulier !

Troisième round :


Fractions

Voilà enfin les fractions et le travail sur les équivalences (notion capitale qui sera approfondie en élémentaire, cf. ICI et ). L'enfant a entre 6 ans et 6 ans et demi dans une progression "idéale".

Sur l'enseignement des fractions, je vous renvoie aux excellentes mises en œuvre de Montessori mais pas que et de En classe avec Montessori.👍

Ouf. On s'arrête là pour aujourd'hui. D'accord ? 😄

Juste un petit Nota Bene, encore.  Cet article N'EST PAS sponsorisé, mais puisqu'on me demande souvent quels sont mes sites de vente de matériel favori, j'en profite pour répondre que :

- En règle générale, j'essaie d'éviter d'acheter du matériel pour travailler à la maison. Mais je craque régulièrement quand même - je me console à me disant que ce que sert à mes enfants sert aussi à mes élèves ... 😪

- D'après mes constatations, le matériel est partout d'une qualité similaire (made in China) - sauf chez Nielhuis, mais la boutique est hors budget pour un particulier sur le long terme. 

- Le site Tangram Montessori fait néanmoins la différence grâce à la qualité du service - je n'ai pas eu une seule déception, le matériel est toujours reçu complet dans un état impeccable (n'allez pas croire que cela va de soi !!), le service après-vente (ou "avant-vente") est topissime. Les prix sont tout à fait corrects, mais le gros défaut de la boutique est d'être victime de son succès et trop souvent en rupture de stock.

- 1, 2, 3 Montessori a  un petit goût de DIY bien sympa et des prix imbattables. Bien sûr, c'est vrai qu'après avoir enfilé 275269 perles sur des tiges de fer, on voit un peu flou, mais c'est ce qui fait le charme, hein ? 😁 Le site est l'un des seuls à garantir une fabrication française, mais il ne propose pas tous les produits - Attention, certains articles présentent même quelques "défauts" : j'ai une amie qui s'est fâché tout rouge parce que le planisphère faisait "tenir" tout le continent nord-américain sur un seul disque ...

Je vous souhaite une bonne digestion de toutes ces données et une excellente soirée ! La prochaine fois (dans deux ans ?), on parlera 6/12 !! 😄

A bientôt pour plein de petites choses légères - légères - légères ... 💦

😁

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29 commentaires

  1. Bravo pour ce magnifique travail de synthèse! Juste un petit point supplémentaire, les fractions sont présentées vers 3 ans et demi en sensoriel! Mémoire du corps...

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    1. Tout à fait d'accord ! Même si j'ai failli me brouiller (mais pour de vrai !) avec l'ATSEM de ma classe de l'année dernière au sujet de ce matériel. Mes PS/MS adoooraient jouer "à la pizza" comme ils disaient ... mais étaient incapable de les ranger. A force de devoir reconstituer les disques (plusieurs dizaines de fois par jour ...), l'ATSEM a piqué une crise de nerf ... C'est un sacré souvenir ... :-o

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    2. Je trouve ça génial! Même si c'est un "détournement " de matériel, ils n'en ont pas moins compris que c'étaient des parts!!!

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  2. Rouli, roula, etc.janvier 30, 2019

    Bonjour,
    Merci beaucoup pour votre article.

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  3. Merci pour cet article (et le précédent sur le sujet, donc), c'est super étayé. Et ça tombe au poil pour moi :)

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  4. Laure et sa classejanvier 30, 2019

    Je suis impressionnée par tant de connaissances. Je me suis formée auprès d'une personne très compétente, mais j'ai beaucoup de mal à mettre tout cela en pratique. Il y a des jours où mon pessimisme prend le dessus et je ne me sens pas capable. J'aimerai tellement que mes enfants avancent grâce à ces connaissances montessoriennes. Merci en tous cas de ces partages.

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    1. Alors, la mise en œuvre, c'est un autre sujet, hein ! :-)
      D'après ce que j'observe (je bouge beaucoup depuis que je suis en Isère et je vois beaucoup de fonctionnements différents), LE secret d'une mise en œuvre harmonieuse, c'est la cohésion d'équipe. De ce que je vois, les seules écoles qui fonctionnent en Montessori (je veux dire : chez qui ça marche) sont en accord dans toutes les classes. Cela suppose aussi un vrai travail d'informations/formation vis-à-vis des ATSEM.

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  5. Merci beaucoup pour cet article :-) :-)

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  6. Un grand grand merci ! C'est précieux. cela servira beaucoup à mes trois enfants. :-)

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  7. Maman Maitejanvier 30, 2019

    Merci beaucoup pour votre mine d'information :)
    Je vous suis régulièrement. J'aimerai tant avoir plus de temps à consacrer à mes enfants pour leur apprendre la base des maths. Merci je vais essayer de mon mieux.

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  8. Merci pour cet article très complet. J'attends avec impatience le volet 6-12 ;-)
    Je rebondis sur une parenthèse : "il manque cruellement à la pédagogie de Maria Montessori un round "Résolution de problèmes" qui viendrait s'ancrer sur tout le reste". C'est exactement ce que je pense et je serais particulièrement intéressée par le développement de ce propos :-)
    Très documentée sur les pédagogies alternatives, et Montessori en particulier, depuis la naissance de mon enfant, mon parcours professionnel (nouvelles technologies et ingénierie logicielle) m'a amené à chercher une approche éducative qui transpose les fondamentaux des "FabLab" et autres "Makerspace" en plaçant l'enfant en posture de chercheur et d'inventeur.
    C'est là que j'ai découvert Célestin & Elise Freinet, puis Reggio Emilia, via ce blog et via les travaux de Sylvia Martinez et Gary Stager (enseignants pionniers du "Learning-by-doing" aux Etats-Unis, qui se basent beaucoup sur Reggio Emilia) et les écrits d'Alison Galloway (enseignante-chercheuse au Canada qui explore dans ses classes les intersections entre l'approche reggiane et le mouvement "Maker" ; elle pratique en particulier les "Genious Hour" qui sont des créneaux réservés pendant lesquels les enfants partent d’une passion personnelle ou un centre d’intérêt de leur choix pour concevoir et modifier un projet au long cours et s’approprier ainsi leurs apprentissages et développer leurs connaissances).
    Ces apprentissages par la recherche invitent justement l'enfant dans le même processus que le scientifique ou l'artiste. Cela a été pour moi une révélation, la brique manquante !
    Depuis, j'ai aussi découvert la démarche "Bâtisseur des possibles", issue du dispositif "Design for Change" créé par la designer et pédagogue indienne Kiran Bir Sethi, le « phenomenon-based learning » (Finlande) et les ressources proposées par les Savanturiers (France)...
    Pour la musique plus particulièrement, je commence à m'intéresser à la pédagogie Robert Kaddouch, qui couvre la création artistique et la communication (partager sa sensibilité et être réceptif à celle d’autrui).
    Je m'arrête là pour aujourd'hui mais aurais plaisir à poursuivre cet échange.

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    1. Merci pour ce commentaire d'une richesse incroyable !! Il ne faut pas me lancer des perches comme ça, à moi : je vais en passer, des nuits blanches, à explorer toutes les pistes que tu mentionnes ... ;-)
      Bon, alors, promis, on en reparle à travers un article !! :-)

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    2. J'ai hâte, j'ai hâte, j'ai hâte !
      Mais je saurai être patiente, si cela peut vous évitez quelques nuits blanches ;-)

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  9. Ohhh merci beaucoup. Je suis encore en train de me demander comment raccrocher les wagons car nous nous étions interrompus un long moment et je me perdais dans les différents articles (faut dire qu'on n'est pas très réglo). Tout est regroupé c'est pile poil pour moi.

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  10. Waouh ! C'est hyper complet et bien clair ! Merci !

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  11. Merci pour toutes ces heures passées à nous transmettre !

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  12. Merci beaucoup pour votre article. Bonne journée.

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  13. Merci pour tous vos articles riches, clairs et inspirants ! ! !

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  14. Merci pour ce travail et vos liens! Personnellement ça m'aide beaucoup!

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  15. J'ai tout lu!! Quel travail! Merci beaucoup pour le partage!

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  16. Bonjour à vous,

    Je viens de tomber sur votre blog et je tenais à vous remercier pour cette mine d'or à notre portée. J'ai une petite fille de 7ans et demie avec un retard dans ses apprentissages de l'ordre de deux ans, cela fait 4 ans que je remue ciel et terre pour trouver des solutions..... Les solutions sont peut-être ici...???
    Trop prise par mon travail, divorcée d'un père peu concerné et dans le conflit perpétuel, un quotidien pesant, je n'ai pas su apporter à mon enfant ce que vous apportez merveilleusement aux vôtres!! C'est tout simplement magnifique! J'essaie aujourd'hui de rattraper mes erreurs j'espère que cela sera positif pour ma fille! En attendant, j'ai une lueur d'espoir grâce à certaines méthodes dont j'ignorais jusqu'alors l'existence.
    Merci encore.

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    1. Bienvenue Emilie !
      Je suis ravie si tout cela t'inspire. Si je puis me permettre un humble conseil, je crois qu'il ne faut pas du tout vous dévaloriser, car je crois que vous êtes une maman très investie ! Vous allez avoir besoin de confiance en vous-même pour mettre en ouvre des "solutions" ... Je vous en souhaite un plein wagon !:-)

      Mais d'ailleurs, avez-vous besoin de "solutions" ? Y a-t-il un "problème" ? Je ne crois pas trop aux "retards d'apprentissage", je crois que chacun avance à son rythme. Peut-être que votre fille a vécu des choses qui l'ont bien occupée et qui l'ont empêchée d'apprendre ? J'ai moi-même été sur "pause" scolairement pendant deux ans au collège (disons-le clairement : de bonne élève que j'étais, je suis devenue une cancre totale !! :-D) parce que je vivais des choses intenses dans ma famille (séparation, déménagements, naissance). Je suis redevenue studieuse quand ma vie s'est stabilisée à nouveau ...
      Ayez confiance en votre fille, elle fait du mieux que possible ! Et vous aussi ! :-)

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    2. Bonjour Elsa,

      Merci pour cette réponse pleine de bienveillance, ça fait du bien de lire cela.

      Les difficultés de mon enfant sont apparues dès la petite section, année de séparation avec son père suite à une année de déchirement; s'en est suivi 4 années d'un conflit perpétuel où elle s'est retrouvée malgré elle au milieu... Tout en essayant de la protéger au maximum...

      Ma fille refait un CP pour la deuxième année et malgré beaucoup de difficultés surmontées, un réel effort et une grande envie d'apprendre, il est vrai qu'elle avance à son rythme et se retrouve tout même un peu en dessous des autres. L'équipe pédagogique me propose aujourd'hui une orientation en ULIS-Ecole car ils pensent qu'elle n'arrivera pas à suivre en CE1. J'avoue que cela me fait peur et je trouve tout cela quelque peu extrême. J'ai peur pour son avenir et le peu de perspectives qu'ouvre cette orientation.
      Ma fille a été vu par la psychologue scolaire (1 fois) et par une neuropsychologue (très peu de fois), et elles ne trouvaient pas mon enfant en souffrance psychologique mais qu'en était-il avant? Il est vrai que moi aussi je la trouve beaucoup mieux aujourd'hui, vraiment épanouie et j'essaie de lui donner chaque jour une vie plus sereine. Malheureusement la vie n'est pas toujours comme on le souhaite mais je me dis que lorsque l'on veut on peut donc j'y crois.
      Donc j'avance avec elle main dans la main comme nous le sommes depuis plus de 7 ans maintenant. Je veux lui donner encore plus et je cherche chaque jour des pistes à explorer, des jeux à faire avec elle, des livres à découvrir, des activités, tout pour l'aider.....
      Merci encore pour votre réponse, ça fait chaud au cœur de lire ce genre de message.

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  17. Merci à toutes pour vos p'tits mots ! Je suis contente que cet article répondent à vos attentes !! :-)

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